关于运动群乘积空间中的低偏差采样
计算几何
2014-12-01 v1
摘要
确定性地生成运动群（如 SO(3)、SE(3)）及其 n 重乘积 SO(3)^n、SE(3)^n 的近似均匀点采样，是计算科学与数据科学中众多应用的基础。衡量采样质量的自然指标是偏差（discrepancy）。本文的主要目标是在运动群的乘积空间中构造低偏差的确定性采样。为此，我们开发了一种新策略（采用两步偏差构造法），使得采样规模相较于平凡的直积构造实现了近乎指数级的改进。据我们所知，这是针对 SO(3)^n、SE(3)^n 以及超环面 T^n 的首个非平凡构造。我们还构造了 S^2 和 SO(3) 的新低偏差采样。我们在 SO(3) 构造中的核心组件是显式构造 S^2 上的 N 个点，其关于凸集的偏差为 \tilde{\O}(1/\sqrt{N})，这与 \cite{ABD_12} 中球冠特例所达到的界相匹配。此外，我们将笛卡尔积集的偏差 \cite{Chazelle04thediscrepancy} 推广到了局部笛卡尔积集的偏差。我们开发的工具应有助于生成其他复杂几何空间的低偏差采样。
引用
@article{arxiv.1411.7753,
title = {On Low Discrepancy Samplings in Product Spaces of Motion Groups},
author = {Chandrajit Bajaj and Abhishek Bhowmick and Eshan Chattopadhyay and David Zuckerman},
journal= {arXiv preprint arXiv:1411.7753},
year = {2014}
}