q 元 Reed-Muller 与乘积 Reed-Solomon 码的代数译码

我们考虑了 Pellikaan-Wu \cite{PW2005} 最近提出的针对长度 $n \leq q^m$ 且 $\ell \leq q$ 的 $q$ 元 Reed-Muller 码 $\mathcal{RM}_q(\ell, m, n)$ 的列表译码算法。给出了一个简单且易于理解的正确性证明，表明该算法实现了相对纠错半径 $\tau \leq (1 - \sqrt{{\ell q^{m-1}}/{n}})$。这是对 \cite{PW2005} 中使用单点代数几何码证明的改进。所描述的算法可以调整用于译码乘积 Reed-Solomon 码。然后我们提出了一种新的低复杂度递归代数译码算法，用于 Reed-Muller 和乘积 Reed-Solomon 码。我们的算法实现了相对纠错半径 $\tau \leq \prod_{i=1}^m (1 - \sqrt{k_i/q})$。该技术被证明在广泛的码率范围内，在复杂度和纠错半径两方面均优于 Pellikaan-Wu 方法。