基于分层超体积与幅值指标的非光滑集合梯度上升至帕累托前沿

发展了一种用于将有限近似集移动到多目标优化中的帕累托前沿的非光滑集合梯度上升方法。该方法优化分层集合指标：在一系列非支配层上评估基准指标，层值通过快速递减权重组合。这给出指向非支配点和支配点的上升方向，同时防止更深层次的层次因第一个前沿的退化而产生补偿。两种基准指标被处理：超体积指标和支配集的幅值指标，其在坐标投影上的扩张包含 extent、投影面积和体积项。标量目标是非光滑的，因为非支配层次的变更是组合性的，主动正交-联合几何的变化是分段的。在固定层次上，其中层次分配和主动几何保持不变时，指标是分段光滑的且在 chamber 内连续。对于幅值指标，推导了作为投影阴影集超体积梯度的线性组合的精确梯度公式。因此，对于固定目标维度，幅值梯度的渐近时间复杂度与超体积梯度相同。 lexicographic 层次聚合与单值无限小编码相关。对于有限 $\epsilon$ 的近似，主要的非光滑机制被分离，证明了在有界集上 chamberwise Lipschitz 连续性；一个两点反例表明硬层次标量化在层次切换跨越上并非全局连续。该理论动机下实现了投影有限差分实现，包含从停滞中的 repulsion 和恢复。数值实例和可复现代码覆盖双目标和三目标情形，包括目标空间测试、曲线前沿、超球基准以及比较分层幅值上升和超体积上升的轨迹。