与Farey序列相关的分布——I

本文对先前版本作了细微修正。我们通过F.Boca、C.Cobeli和A.Zaharescu（2001）引入的方法，研究Farey序列的一些数论性质。设$\Phi_{Q}$为阶为$Q$的经典Farey序列。给定整数$D\geqslant 2$和$0\leqslant c\leqslant D-1$，我们将分母$\equiv c \pmod D$的分数着色为红色。考虑在$\Phi_{Q}$中端点均为着色区间之间的间隙，这些间隙内部不包含分母$\equiv c \pmod D$的分数$a/q$。问题在于，求这些间隙在整个被考察区间中恰好包含$r$个分数的比例$\nu(r;D,c)$（当$Q\to +\infty$时）。事实上，C.Cobeli、M.V\^{a}j\^{a}itu和A.Zaharescu（2014）所获结果可用于推导$\nu(r;D,c)$的表达式。然而，该公式将$\nu(r;D,c)$表达为与特定几何变换相关的某些多边形面积的函数。本文中，我们获得了$D = 2, 3$且$c=0$情况下的$\nu(r;D,c)$的显式公式。