不相交矩阵测试数目的新界

给定 $n$ 个物品，其中至多 $d$ 个为阳性，组合分组测试理论旨在不使用逐个测试而用尽可能少的测试识别出所有阳性物品。本文致力于非自适应分组测试理论中一个基础且历时三十年的问题。若任意 $d$ 列的布尔和不含该集合之外的另一列，则称一个二元矩阵为 $d$-不相交。令 $T(d)$ 表示存在 $t\times n$ 的 $d$-不相交矩阵且 $n>t$ 的最小 $t$。$T(d)$ 也可视为存在优于逐个测试平凡方案的非自适应分组测试方案的最小 $t$。已知 $T(d)\ge\binom{d+2}{2}$，且猜想 $T(d)\ge(d+1)^2$。本文证明 $T(d)/d^2\ge(15+\sqrt{33})/24$（位于 [6/7,7/8] 的量），从而缩小了该差距。