神经期望算子

本文引入了\textbf{度量学习}（Measure Learning）这一用于建模不确定性的非线性期望范式。我们将神经期望算子定义为驱动函数由神经网络参数化的逆向随机微分方程（BSDE）的解。主要的数学贡献在于，对驱动函数在状态变量$y$中满足局部 Lipschitz 条件且在其鞅分量$z$中呈二次增长的BSDE给出严格的正则性定理。这一结果规避了经典的全局 Lipschitz 假设，适用于常见的神经网络架构（例如带ReLU激活函数），且适用于指数可积终端数据的情形，这是该设置的尖锐条件。我们的主要创新在于，在抽象且常受限制的二次BSDE深层理论假设与机器学习领域之间搭建了构造性桥梁，表明这些条件可以通过具体、可验证的神经网络设计来满足。我们提供了通过架构设计来强制实现关键公理属性（如凸性）的方法。该理论扩展至完全耦合的前向-逆向SDE系统的分析，以及大规模相互作用粒子系统的渐近分析，在后者我们建立了大数定律（混沌传播）和中心极限定理。该工作为数据驱动的模糊情境下的建模提供了基础数学框架。