Keller映射的一个刻画

设 $k$ 为一个特征为零的域。设 $\phi$ 为多项式代数 $k[x_1, \dots, x_n]$ 的一个 $k$-自同态。已知 $\phi$ 是自同构当且仅当它将不可约多项式映射为不可约多项式。在本文中，我们证明 $\phi$ 满足 Jacobian 条件当且仅当它将不可约多项式映射为无平方多项式。因此，Jacobian 猜想等价于以下命题：$k[x_1, \dots, x_n]$ 的每一个将不可约多项式映射为无平方多项式的 $k$-自同态，均将不可约多项式映射为不可约多项式。