无限字的自然颜色

有限自动机有最小 DFA 作为简单而自然的范式，而确定性 omega-自动机目前尚无类似之物。原因之一在于，omega-正则语言的范式必须谈及接受之外的更多内容——例如，要拥有奇偶语言的范式，它应将每个无限字与该语言某种自然颜色相关联。这就引出了一个问题：是否存在诸如无限字（对给定语言而言）的自然颜色这样的概念，如果存在，它如何回溯到自动机。我们纯粹基于 omega-正则语言定义字的自然颜色，并展示在两次廉价且简单的自动机变换之后，如何从任意确定性奇偶自动机追溯此自然颜色。所得精简自动机未必以其自然颜色接受每个字，但它有一个“共运行”（co-run），类似于运行，但可一次性转移到语言等价状态，其颜色即为自然颜色，且不存在颜色更高的共运行。该精简自动机为每种颜色 c 定义了一个 good-for-games co-Büchi 自动机，识别那些相对于所表示语言自然颜色至少为 c 的字。这为每一个 ω-正则语言提供了规范表示，因为 good-for-games co-Büchi 自动机对每个 co-Büchi 语言都有规范最小（且易于获得）的表示。