基于时变聚类的多元函数型数据建模

我们考虑在一系列站点上随时间收集多元函数型数据的情况。我们的示例设定为二元情形，即在若干监测站点上监测臭氧和 PM$_{10}$ 浓度作为一年内时间的函数。我们所使用的数据来自墨西哥城 24 个监测站点记录的每小时臭氧和 PM$_{10}$ 浓度，采用 2017 年的数据。因此，我们有 48 条函数需要处理。我们的目标是跨站点对函数实施基于模型的聚类。以我们的例子而言，此类聚类可分别对臭氧和 PM$_{10}$ 进行，也可联合进行，且两种污染物可能呈现差异化的聚类。对我们而言更为重要的是，我们允许这种聚类随时间变化。我们使用多元高斯过程对跨站点的多元函数建模。鉴于站点众多且每站含若干函数，我们采用降维方法为 $n$ 个站点上多元函数集合的分布提供随机过程设定。此外，为对函数按分量单独或联合所有分量进行聚类，我们使用狄利克雷过程以实现跨站点函数的共享标记。具体而言，我们基于函数对外生变量的响应进行聚类。尽管函数源于连续时间，但在连续时间下聚类计算代价极高且无实际意义。因此，我们采用时间尺度划分来捕捉时变聚类。