对称锥分解的乘法更新算法

给定具有非负元素的矩阵 $X\in \mathbb{R}^{m\times n}_+$，关于锥 $\mathcal{K}\subseteq \mathbb{R}^k$ 的锥分解问题致力于计算 $\{ a_1,\ldots, a_{m} \} \subseteq \mathcal{K}$ 及其对偶 $\{ b_1,\ldots, b_{n} \} \subseteq~\mathcal{K}^*$ 使得对所有 $i\in [m], j\in [n]$ 有 $X_{ij} = \langle a_i, b_j \rangle$。锥分解是数学优化的基础，因其允许我们将凸体表示为线性锥规划的可行域。本文引入并分析了对称锥乘法更新（SCMU）算法，用于在 $\mathcal{K}$ 为对称锥（即自对偶且齐性）时计算锥分解。对称锥在数学优化中居于核心地位，因其为研究非负象限上的线性优化（线性规划）、二阶锥上的优化（二阶锥规划）以及半正定矩阵锥上的优化（半定规划）提供了统一语言。SCMU 算法的乘法性体现在：迭代通过施加一个精心选取的锥自同构来更新，该自同构由几何平均到对称锥的推广计算而得。利用 Lieb 凹性定理与 von Neumann 迹不等式到对称锥的推广，我们证明平方损失目标沿 SCMU 算法轨迹是非减的。针对非负象限的特殊情形，SCMU 算法对应于 Lee 和 Seung 用于计算非负矩阵分解的开创性算法。