单调子模函数最大化的多遍流式算法

我们考虑在流式环境下，于基数约束或背包约束下最大化单调子模函数。具体而言，元素依次到达，且在任意时刻，算法只能访问存储在主存中的一小部分数据。我们提出如下取 $O(\varepsilon^{-1})$ 遍的流式算法：——针对基数约束问题的 $(1-e^{-1}-\varepsilon)$ 近似算法；——针对背包约束问题的 $(0.5-\varepsilon)$ 近似算法。我们的两种算法均在 $O^\ast(n)$ 时间内运行，使用 $O^\ast(K)$ 空间，其中 $n$ 为全集大小，$K$ 为背包容量。此处 $O^\ast$ 记号隐藏了 $\log K$ 与 $\varepsilon^{-1}$ 的多项式。我们的流式算法也可用作快速近似算法。特别地，对于基数约束问题，我们的算法耗时 $O(n\varepsilon^{-1} \log (\varepsilon^{-1}\log K) )$，改进了 Badanidiyuru 与 Vondr\'{a}k 的耗时 $O(n \varepsilon^{-1} \log (\varepsilon^{-1} K) )$ 的算法。