韦尔曼-图尔坦定理与欧拉整数

我们的工作是受欧拉整数范数与和的形式$a^2-ab+b^2$相关的事实启发而动，这为涉及整数乘积与和或差的问题提供了自然的推广。设E为欧拉整数集合。我们定义$\omega_{\mathbb N}(x)$为$x \in \mathbb N$的不同质因数的个数，$\omega_E(x)$为$x \in E$的不同欧拉质因数的个数。依据韦尔曼-图尔坦定理，若$\mc A \subset \mathbb Z^{+}$且$|\mathcal{A}|=3\cdot{2^{k-1}}$（$k \in \mathbb{Z}^{+}$），则$\omega_\mathbb{N}(\prod_{a,b\in\mathcal{A},a\neq{b}}(a+b))\geq{k+1}$。我们证明若$\mathcal{A} \subset E$为有限集合且$\rho \in E$，则$\omega_E(\prod_{a,b \in \mathcal{A}, a \neq b}(a+\rho b))$的下界为$\log|\mathcal{A}|$的阶。因此，我们为$\mathcal{A} \subset \mathbb{N}$关于$\omega_{\mathbb{N}}(\prod_{a,b \in \mathcal{A}, a \neq b}(a^2+ab+b^2))$和$\omega_{\mathbb{N}}(\prod_{a,b \in \mathcal{A}, a \neq b}(a^2-ab+b^2))$提供下界。我们还通过一个计算机程序给出当$|\mathcal{A}|\le 8$且集合中最大元素较小时，$\omega_{\mathbb{N}}(\prod_{a,b \in \mathcal{A}, a \neq b}(a^2+ab+b^2))$最小值上的上界。 Furthermore, using a Diophantine number theoretical lemma of Gy\H{o}ry, S\'ark\"ozy, and Stewart, we give a lower bound of order $\log|\mathcal{A}|$ for $\omega_{\mathbb{N}}(\prod_{a \in \mathcal{A}, b \in \mathcal{B}}(f(a,b)))$ for a specific class of polynomials $f \in \mathbb{Z}[x,y]$ and finite sets $\mathcal{A}, \mathcal{B} \subset \mathbb{Z}$.