有限混合模型中 BIC 修改版的 order 选择

有限混合模型在现代统计建模中无处不在，一个反复出现的实际问题是选择模型阶数。在 \citet[Sankhy\=a Series A, \textbf62, pp. 49--66]{keribin2000consistent} 中，对 BIC 进行了一致性证明，但需满足强正则条件，包括高矩和组件密度的高阶导数。我们引入 $\nu$-BIC 和 $\epsilon$-BIC，通过对 BIC �罚项乘以极小的对数因子进行加权（这些因子在实际中可忽略）。这一微小的修改使得在显著放宽的条件下仍然保持一致性，无需光滑性，仅需温和的矩假设。我们还给出了一个误指定结果：当真实模型位于候选族之外时，任何消失的惩罚准则最终都会在候选模型中选择出一个在 Kullback--Leibler 损失下最优的阶数。最后，我们阐明了一致 IC 基于选择在混合模型中的两个局限性：在我们的充分条件下，没有统一的最小 BIC 规模惩罚，阶数一致性可能与 Hellinger 风险下的 minimax 最优性冲突。我们为高斯混合模型、不可导的 Laplace 混合模型、重尾 $t$ 混合模型以及回归模型的混合模型说明了该理论。