用圆盘与正方形覆盖点的最小层数问题

继Erlebach与van Leeuwen于SODA 2008年的开创性工作之后,我们引入最小层数覆盖问题。给定平面上一点集$P$与一几何对象集$S$,我们的目标是找到$S$的一个子集$S'$覆盖$P$的所有点,同时最小化平面上任意点(不仅限于$P$中的点)被对象覆盖的最大数量。对于单位正方形与单位圆盘这类对象,该问题是NP难的且不能被小于2的近似比近似。我们给出了针对单位正方形与单位圆盘的2-近似算法。当最优目标值有常数界时,我们的算法在多项式时间内运行。受无线网络中信道分配的启发,我们考虑该问题的一个变体,其中所选单位圆盘必须是3-可着色的,即由三种颜色着色使得同色圆盘两两不交。我们给出了一个多项式时间算法,得到2-近似解,即一个6-可着色的解。我们还研究了一维情况下的加权版本,其中$P$与$S$分别为线上的点与加权区间。我们给出了一个在$O(n + m + M)$时间内求解该问题的算法,其中$n$为点数,$m$为区间数,$M$为重叠区间对数。这修正了Nandy、Pandit与Roy在CCCG 2017中所声称的一个解法。