近线性时间的最小链覆盖

一个 $k$-宽度有向无环图（DAG）$G = (V, E)$ 的最小链覆盖（MCC）是 $G$ 的 $k$ 条链（$G$ 传递闭包中的路径）的集合，使得每个顶点至少出现在覆盖中的一条链里。MCC 的最先进解法运行时间为 $\tilde{O}(k(|V|+|E|))$ [M\"akinen et at., TALG]、$O(T_{MF}(|E|) + k|V|)$、$O(k^2|V| + |E|)$ [C\'aceres et al., SODA 2022]、$\tilde{O}(|V|^{3/2} + |E|)$ [Kogan and Parter, ICALP 2022] 和 $\tilde{O}(T_{MCF}(|E|) + \sqrt{k}|V|)$ [Kogan and Parter, SODA 2023]，其中 $T_{MF}(|E|)$ 和 $T_{MCF}(|E|)$ 分别是求解最大流（MF）和最小费用流（MCF）的运行时间。在本工作中，我们提出一种运行时间为 $O(T_{MF}(|E|) + (|V|+|E|)\log{k})$ 的算法。考虑到近期求解 MF 的结果 [Chen et al., FOCS 2022]，我们的算法是首个以近线性时间运行的算法。此外，我们的技术是确定性的，并且若 MF 有确定性近线性时间算法，则导出确定性的近线性时间 MCC 算法。我们解决方案的核心是使用了一个修改版的可合并字典 [Farach and Thorup, Algorithmica]、[Iacono and \"Ozkan, ICALP 2010] 数据结构，并通过 SIZE-SPLIT 操作进行增强，在均摊对数时间内回答查询，这本身可能具有独立意义。