基于乘法封闭数位集的高斯整数与埃米斯特整数的最优表示

我们研究两种已知能够高度有效进行复数加法和乘法的positional numeration systems。第一种采用基 $\beta = \imath - 1$ 和数位集 $\mathcal{D} = \{ 0, \pm 1, \pm \imath \}$。在该数位系统中，每个非零 高斯整数~$x$ 都有无数种表示形式。我们关注具有最小非零位数数的~x 的最优表示，即 $3$-non-adjacent form（$3$-NAF）。我们给出~$x$ 最优表示数量的上界，该上界取决于~$x$ 的 $3$-NAF 中非零位数的数量。我们也 characterize 实现了该上界的高斯整数。同样的问题也针对第二个数位系统给出答案，后者采用基 $\beta = \omega - 1$ 和数位集 $\mathcal{D} = \{ 0, \pm 1, \pm \omega, \pm \omega^2 \}$，其中 $\omega = \exp(2\pi\imath / 3)$。在该系统中，每个埃米斯特整数都有一个 $2$-NAF，且为最优表示。本文可被理解为对 Grabner 和 Heuberger 在以基 $\beta = 2$ 和数位集 $\mathcal{D} = \{0, \pm 1\}$ 为特征的 signed binary 数位系统所得结果的类比。