通过双层方法实现针对有符号测度的均值场 Langevin 动力学

均值场 Langevin 动力学 (MLFD) 是一类处理流形上概率测度上的凸优化的相互作用粒子方法，具有可扩展性、通用性以及计算保证。然而，一些重要问题——如面向宽度为无限的两层神经网络的风险最小化，或稀疏反卷积——最初是在有符号测度的集合上定义的。本文我们探讨如何将 MLFD 框架扩展到针对有符号测度的凸优化问题。关于将有符号测度降维为概率测度的两种已知方法——提升法和双层方法——我们证明双层方法可获得更强的保证并实现更快的收敛速度（以较高的每迭代复杂度为代价）。特别地，我们研究了 MLFD 应用于双层方法降序在低噪声 regime 中的收敛率，获得两个结果：第一，此动力学可用于适用于 Suzuki 等人 (2023) 的退火计划，以实现对固定乘法精度的改进收敛率。其次，我们研究学习单个神经元的问题，并获得依赖于维数和噪声水平的局部指数收敛率（与先前分析相比，后者会导致指数依赖）。