最大根连通扩张问题

预取构成了高效网页浏览的重要工具。因此，估计浏览过程中需预加载的资源量成为一项重要任务。对此，预取可被建模为双人组合博弈 [Fomin et al., Theoretical Computer Science 2014]，其中浏览者与标记者在一给定图（表示 Web 图）上交替行动。在其回合中，标记者选择 $k$ 个节点进行标记（预取），而由置于图节点上的令牌表示的浏览者则移动至相邻节点（Web 资源）。浏览者的目标是在所有节点被标记前到达一个未标记节点，否则标记者获胜。直观上，由于浏览者逐步遍历 Web 图中节点的一个子集，满意的预取过程会将处于该增长子集邻域内的所有资源载入缓存。受此启发，我们考虑如下我们称之为最大根连通扩张（MRCE）的问题。给定图 $G$ 与根节点 $v_0$，我们希望找到顶点子集 $S$，使得 $S$ 连通、$S$ 包含 $v_0$ 且比值 $|N[S]|/|S|$ 最大化，其中 $N[S]$ 表示 $S$ 的闭邻域，即 $N[S]$ 包含 $S$ 中所有节点以及所有在 $S$ 中至少有一个邻点的节点。我们证明即便输入图 $G$ 限制为分裂图(split graph)该问题也是 NP-hard 的。在正面结果方面，我们给出了分裂图的多项式时间近似方案。此外，基于 Budgeted Connected Domination 问题 [Khuller et al., SODA 2014] 的技术，我们给出了一般图的 $\frac{1}{6}(1-\frac{1}{e})$-近似算法。最后，我们给出了区间图特殊情形的多项式时间算法。