二部图上的最大 $k$-Biplex 搜索：一种 Symmetric-BK 分支方法

枚举二部图的最大 $k$-biplex（MBP）已用于欺诈检测等应用。然而，MBP 的数量通常呈指数级，这给枚举 MBP 带来两个问题，即有效性问题（许多 MBP 价值低）和效率问题（在大型图上枚举所有 MBP 不可承受）。现有解决该问题的方案对需枚举的每个 MBP 的顶点数施加约束，但仍不够充分（例如要求指定约束，通常不够用户友好，且无法直接控制待枚举 MBP 的数量）。因此，本文研究寻找具有最多边的 $K$ 个 MBP（称为 MaxBP）的问题，其中 $K$ 为正整数用户参数。新方案很好地避免了现有方案的缺陷。我们形式化证明了该问题的 NP 困难性。随后设计两种分支定界算法，其中较优者称为 FastBB，将最坏情况时间复杂度改进为 $O^*(\gamma_k^ n)$，其中 $O^*$ 略去多项式项，$\gamma_k$ 为依赖于 $k$ 且严格小于 2 的实数，$n$ 为图中顶点数。例如，当 $k=1$ 时，$\gamma_k$ 等于 $1.754$。我们进一步引入三种技术以提升分支定界算法性能，其中最优者称为 PBIE，可将时间复杂度进一步改进为大型稀疏图上的 $O^*(\gamma_k^{d^3})$，其中 $d$ 为图的最大度。我们在真实与合成数据集上进行了充分实验，结果表明我们的算法比所有基线快至多四个数量级，且对于欺诈检测应用，寻找 MaxBP 优于寻找所有 MBP。