基于 Kuramoto 型振子的 Max-Cut 问题

我们考虑 Max-Cut 问题。设 $G = (V,E)$ 为具有邻接矩阵 $(a_{ij})_{i,j=1}^{n}$ 的图。Burer、Monteiro 与 Zhang 提出,对 $n$ 个角度 $\left\{\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_n\right\} \subset [0, 2\pi]$,寻找能量 $$f(\theta_1, \dots, \theta_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \cos{(\theta_i - \theta_j)}$$ 的极小值,因为达到全局最小的构型可给出大小为 0.878 Max-Cut(G) 的划分。已知该方法计算可行,且在实践中得到非常好的结果。我们证明,将 $\cos{(\theta_i - \theta_j)}$ 替换为显式函数 $g_{\varepsilon}(\theta_i - \theta_j)$ 后,该新泛函的全局极小可给出 $(1-\varepsilon)$Max-Cut(G)。这暗示了一些表现良好的有趣算法。它还表明,一般而言,寻找此类能量泛函的近似全局极小问题是 NP 难的。