稀疏性与熵的数学：公理、核心函数与稀疏恢复

稀疏性和熵是现代信号处理和信息论理论的支柱概念。然而，科学界对这些概念的刻画尚未达成明确共识。先前的努力分别从特定的研究兴趣出发，有助于单独理解稀疏性或熵。本文提出了一种数学形式体系，即联合公理化刻画，旨在帮助理解稀疏性和熵（的美妙之处）。本文收集并引入了内在的和第一性原理准则作为公理和属性，共同刻画稀疏性和熵。所提出的公理集具有构造性，允许推导出简单或\emph{核心}函数及其进一步的推广。核心稀疏性推广了 Hoyer 测度、Gini 指数和 $pq$-均值。核心熵推广了 R\'{e}nyi 熵和 Tsallis 熵，而这两者又推广了 Shannon 熵。最后，核心函数成功应用于压缩感知和给定样本矩下的最小熵问题。更重要的是，（最简单的）核心稀疏性为压缩感知中的 $\ell_1$-最小化方法提供了理论支持。