基于 Malliavin 微积分的得分基准扩散模型
机器学习
2025-11-25 v3 概率论
摘要
我们提出一种基于 Malliavin 微积分的新框架，用于推导得分函数∇log p_t(x)，即与解随机微分方程（SDE）相关的对数密度梯度的解析表达式。我们的 method 将经典的积分求parts技术与现代随机分析工具（如 Bismut 公式和 Malliavin 微积分）相结合，适用于线性和非线性 SDE。通过这种方式，我们在 Malliavin 导数、其伴随算子、Malliavin 发散（Skorokhod 积分）以及扩散生成模型之间建立了严格的联系，从而为计算∇log p_t(x) 提供了系统方法。在线性情形下，我们详细分析表明，该公式与从 Fokker-Planck 方程的解中推导的解析得分函数一致。对于具有状态独立扩散系数的非线性 SDE，我们推导了∇log p_t(x) 的闭式表达式。我们在多个生成任务上评估了所提出的框架，发现其性能与最先进的方法相当。这些结果可推广至更广泛的 SDE 类，为新的得分基准扩散生成模型铺平了道路。
引用
@article{arxiv.2503.16917,
title = {Malliavin Calculus for Score-based Diffusion Models},
author = {Ehsan Mirafzali and Utkarsh Gupta and Patrick Wyrod and Frank Proske and Daniele Venturi and Razvan Marinescu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2503.16917},
year = {2025}
}