有序有根二叉树的LR-绘图与外平面图的近线性面积绘图

本文研究了一族由Chan [SODA 1999] 提出的、用于绘制有序有根二叉树的算法，称为LR-算法。我们特别关注构造具有较小宽度的LR-绘图（即通过LR-算法得到的绘图）。Chan展示了三种不同的LR-算法，对于具有$n$个节点的有序有根二叉树，分别实现了宽度$O(n^{0.695})$、宽度$O(n^{0.5})$和宽度$O(n^{0.48})$。我们证明了，对于每棵$n$节点有序有根二叉树，可以在$O(n^{1.48})$时间内构造出具有最小宽度的LR-绘图。此外，我们展示了一个无限的$n$节点有序有根二叉树族，其在任何LR-绘图中都需要$\Omega(n^{0.418})$的宽度；此前已知的下界仅为$\Omega(\log n)$。最后，我们给出了实验评估的结果，该评估使我们能够确定所有最多包含$451$个节点的有序有根二叉树的最小宽度。我们对LR-绘图的兴趣主要源于Di Battista和Frati [Algorithmica 2009] 的一个结果，他们证明了$n$顶点外平面图可以通过一种类似于LR-算法的绘图算法，在$O(n^{1.48})$面积内获得外平面直线绘图。我们通过证明以下结论深化了LR-绘图与外平面直线绘图之间的联系：如果$n$节点有序有根二叉树具有宽度为$f(n)$的LR-绘图，其中$f(n)$为任意函数，那么$n$顶点外平面图就具有面积为$O(f(n))$的外平面直线绘图。最后，我们利用Chan为有序有根二叉树引入的一种结构分解，证明了每个$n$顶点外平面图都有一个面积为$O(n\cdot 2^{\sqrt{2 \log_2 n}} \sqrt{\log n})$的外平面直线绘图。