基于 LP 的不相交双线性及两阶段可调鲁棒优化的近似方法

我们考虑如下形式的不相交双线性规划类 $\max \, \{ \mathbf{x}^T\mathbf{y} \mid \mathbf{x} \in \mathcal{X}, \;\mathbf{y} \in \mathcal{Y}\}$ 其中 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 为 packing 多面体。我们针对该问题提出了一种 $O(\frac{\log \log m_1}{\log m_1} \frac{\log \log m_2}{\log m_2})$-近似算法，其中 $m_1$ 和 $m_2$ 分别为 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Y}$ 中 packing 约束的个数。特别地，我们证明存在近最优解 $(\tilde{\mathbf{x}}, \tilde{\mathbf{y}})$ 使得 $\tilde{\mathbf{x}}$ 和 $\tilde{\mathbf{y}}$ 为“近整数”。我们给出该问题的 LP 松弛，并通过随机舍入从中获得近最优近整数解。我们表明该松弛与广泛使用的重构线性化技术(RLT)紧密相关。作为我们技术的应用，我们针对带覆盖约束和右端不确定性的两阶段可调鲁棒优化问题（其分离问题为双线性优化问题）给出了紧近似。特别地，基于上述思想，我们给出两阶段问题的 LP 限制，其为 $O(\frac{\log n}{\log \log n} \frac{\log L}{\log \log L})$-近似，其中 $L$ 为不确定性集合中的约束数。这显著改进了此前该问题已知的 SOTA 近似界。此外，我们表明我们的 LP 限制为两阶段鲁棒问题给出了可行仿射策略，且具有相同（或更好）的目标值。由此，仿射策略给出了两阶段问题的 $O(\frac{\log n}{\log \log n} \frac{\log L}{\log \log L})$-近似，显著推广了此前已知的关于其性能的界。