具有长程两两相互作用的张量网络算子的低秩表示

张量网络算子，如矩阵乘积算子（MPO）和投影纠缠对算子（PEPO），可高效表示高维空间中的某些线性算子。本文关注具有长程两两相互作用（如库仑相互作用）的张量网络算子的高效表示。对于 MPO，我们发现所有现有高效方法都利用了奇特的“上三角低秩”（UTLR）性质，即矩阵的上三角部分可由低秩矩阵很好地近似，而矩阵本身可以是满秩的。这使得我们能将寻找高效 MPO 表示的问题转化为矩阵补全问题。我们发展了修正的增量奇异值分解方法（ISVD）来解决这一病态矩阵补全问题。该算法给出的 MPO 表示与 [Stoudenmire and White, Phys. Rev. Lett. 2017] 中的结果等价。为了高效处理更一般的张量网络算子，我们基于分层低秩矩阵格式（如分层离对角低秩（HODLR）格式和 $\mathcal{H}$-矩阵格式）发展了另一种压缩张量网络算子的策略。尽管复杂度中的前常数较大，使用分层低秩矩阵格式的优势在于它同时适用于 MPO 和 PEPO。对于库仑相互作用，该算子可由 $\mathcal{O}(\log(N)\log(N/\epsilon))$ 个具有常数键维数的 MPO/PEPO 的线性组合表示，其中 $N$ 为系统尺寸，$\epsilon$ 为低秩截断精度。修正的 ISVD 与分层低秩算法均不假设长程相互作用取平移不变形式。