植入随机子图问题的低度安全性

Abram等人（TCC 2023）的植入随机子图检测猜想断言了一对图 $(H, G)$ 的伪随机性，其中 $G$ 是具有 $n$ 个顶点的 Erdos-Renyi 随机图，$H$ 是 $G$ 中具有 $k$ 个顶点的随机导出子图。假设区分这两种分布（带有两个泄露的顶点）是困难的，Abram等人构建了通信高效且计算安全的（1）双方同时消息传递（PSM）协议和（2）禁止图结构的秘密共享。我们证明了直至 $k\leq n^{1 - \Omega(1)}$ 时检测植入随机子图的低度困难性。这改进了 Abram等人对于 $k \leq n^{1/2 - \Omega(1)}$ 的分析。该困难性可推广至常数 $r$ 的 $r$-一致超图。我们的分析在区分器的度、优势以及泄露顶点数方面都是紧致的。扩展 Abram等人的构造后，我们将该猜想应用于（1）随机函数的通信最优多方 PSM 协议，以及（2）份额大小为 $(1 + \epsilon)\log n$（对于任意 $\epsilon > 0$）的比特秘密共享，其中最多 $r$ 方的任意极小联盟可以重构，且对所有规模至多为 $\ell = o(\epsilon \log n)^{1/(r-1)}$ 方的不合格子集保持保密性。