用于非分离尺度与高对比度有限维均匀化近似的局部化基

我们构造了具有 $L^\infty$ 系数的散度型算子解空间的有限维近似。我们的方法不依赖于遍历性或尺度分离的概念，而是依赖于以下性质：如果源项位于 $L^2$ 的单位球中而非 $H^{-1}$ 的单位球中，则这些算子的解空间紧嵌入 $H^1$ 中。近似空间通过在局部子域上求解椭圆型 PDE 生成，其中源项对应于 $H^2$ 的近似基。$H^1$ 误差估计表明，具有局部化到直径为 $\mathcal{O}(h^\alpha \ln \frac{1}{h})$（其中 $\alpha \in [1/2,1)$）的子域的基元素的 $\mathcal{O}(h^{-d})$ 维空间，对于椭圆、抛物和双曲问题可达到 $\mathcal{O}(h^{2-2\alpha})$ 的精度。对于高对比度介质，只要局部子域包含宽度为 $\mathcal{O}(h^\alpha \ln \frac{1}{h})$ 的缓冲区域，且该区域内介质的对比度保持有界，则该方法的精度得以保持。所提出的方法可以自然地推广到向量方程（例如弹性动力学）。