通过回溯更新改进贪心集合覆盖的局部计算算法

本文聚焦于设计一种高效的 Local Computation Algorithm (LCA) 用于集合覆盖问题，这是一项核心优化任务。当前为计算 $O(\log \Delta)$ 近似集合覆盖开发的先进 LCA（由 Grunau、Mitrovi\'c、Rubinfeld 和 Vakilian 在 [SODA '20] 中提出），实现查询复杂度为 \Delta^{O(\log \Delta)} \cdot f^{O(\log \Delta \cdot (\log \log \Delta + \log \log f))，其中 $\Delta$ 为最大集合大小，$f$ 为任意元素在集合中的最大频率。我们提出一种新的 LCA 用于解决此问题，只需 $f^{O(\log \Delta)}$ 查询。具体而言，对于 $f = \text{poly} \log \Delta$ 的实例，我们的算法将查询复杂度从 $\Delta^{O(\log \Delta)}$ 降低到 $\Delta^{O(\log \log \Delta)}$。我们在设计 LCAs 中核心技术贡献是激进稀疏化输入实例，但允许进行 \emph{回溯更新}。也就是说，我们的主要 LCA 有时会“纠正”它在之前递归 LCA 调用中所做的决定。这使我们能够获得更强的浓度保证，从而实现更高效、更“稀疏”的 LCA 执行。我们认为，这种技术可能独有地具有兴趣。