稀疏非参数模型中自适应几乎完全恢复

我们观察信号强度为 $\varepsilon>0$ 的高斯白噪声模型中的未知函数 $f(\boldsymbol{t})$，其中 $\boldsymbol{t} \in[0,1]^d$。我们假设函数 $f$ 为规则函数，且为 $k$ 变量函数之和，其中 $k$ 取值范围为 $1$ 到 $s$（$1\leq s\leq d$）。这些函数对我们而言是未知的，且只有其中很少一部分为零。本文聚焦于在 $d=d_\varepsilon\to \infty$ 且 $s$ 为固定值或 $s=s_\varepsilon\to \infty$、$s=o(d)$ 的情况下，识别 $f$ 的非零函数分量几乎完全的问题。可将其视为变量选择问题。我们推导几乎完整变量选择在该模型中可能实现的条件，并提供一种实现此类选择的选择程序。该程序对稀疏度指数 $\beta\in(0,1)$ 自适应。我们还推导出在本模型中几乎完整变量选择不可能实现的条件。基于这些条件，所提出的选择器表现为渐近最优。理论发现通过数值实验进行了说明。