关于负副指数 GJMS 算子在双曲空间上的庞亨-索布尔iev 级

本文致力于对双曲空间 $\mathbb H^n$ 上负副指数 GJMS 算子 $\mathcal{P}_s$（$s \in (0,\tfrac n2)\setminus\mathbb N$）所对应的庞亨-索布尔iev 级进行定性分析。与整数阶情况不同，当 $s \notin \mathbb N$ 时，算子 $\mathcal{P}_s$ 不具备 conformal covariance，即无法通过上半空间或球模型将其与欧几里得负副指数 Laplacian $(−\Delta)^s$ 建立联系；这一联系对于引入欧几里得理论至关重要。因此，我们引入 $\widetilde{\mathcal{P}}_s$（$s>0$），其与 $(−\Delta)^s$ conformally 相关。本文旨在分析与 $\mathcal{P}_s$ 和 $\widetilde{\mathcal{P}}_s$ 相关的庞亨-索布尔iev 级的单调性、可达性及严格间隙区域。首先，我们通过庞亨-索布尔iev 级的视角重新阐释了 Brezis--Nirenberg 问题，将此前关于欧几里得 Laplacian 以及 $\mathcal{P}_k$ 在 $\mathbb H^n$ 上具有整数 $k \in (0,\tfrac n2)$ 的结果联系起来。随后，我们为涉及 $\mathcal{P}_s$ 和 $\widetilde{\mathcal{P}}_s$ 的负副指数 Hardy--Sobolev--Maz'ya 不等式建立新的显式下界。通过运用浓度-紧凑性原理结合对庞亨-索布尔iev 级严格间隙区域的详细分析，我们证明了在 $\mathbb H^n$ 上的 Brezis--Nirenberg 问题对这两个算子都有解。最后，结合 Hardy 下界与可达性准则，我们对庞亨-索布尔iev 级 $H_{n,s}$ 和 $\widetilde H_{n,s}$ 给出了完整的特征描述。