带编辑操作的线性和分配问题

我们考虑通过一系列基本编辑操作（即元素的替换、删除和插入）将一个元素集合变换为另一个元素集合的问题。每种可能的编辑操作都被赋予一个非负代价，而变换的代价通过将其各操作代价求和来度量。该问题的一个解在于定义一种在所有可能变换中代价最小的变换。为了计算这样的解，经典方法是通过扩充两个集合来表示删除和插入操作，使它们大小相同。这使得该问题可表述为线性和分配问题(LSAP)，从而找到两个扩充集合之间的最优双射（或置换、完美匹配）。尽管已知 LSAP 可在多项式时间复杂度内高效求解，例如使用匈牙利算法，但处理添加到初始集合中的元素会浪费时间和内存。在本报告中，我们展示该问题可形式化为 LSAP 的扩展，其仅在每个集合中考虑一个附加元素来表示删除和插入操作。该问题的解不再表示为两个扩充集合之间的双射。我们表明所考虑的问题是接近于 LSAP 的二元线性规划(BLP)。虽然它可由任何 BLP 求解器求解，我们提出了一种匈牙利算法的适配版本，改进了先前基于 LSAP 方法所获得的时间和内存复杂度。随着两个集合的大小及其绝对差值的增大，该改进的重要性也随之增加。基于本报告中对该问题的分析，其他经典算法也可被适配。