标准引力完美流体范式的局限性

我们证明，标准完美流体范式并非必然是弯曲空间稳态引力源的有效描述。仅仅由于非平坦性，弯曲空间几何必须具有内在长度尺度，而这些长度尺度会影响流体结构。对于波长达到或大于此类尺度的模式，几何光学近似不成立，射线也非测地线。因此，协变化的过程不仅涉及将平坦空间函数替换为协变函数，还需要引入平坦空间中不存在的内在尺度。原则上，将弯曲空间能量-动量张量构建为基于测地线的平坦时空能量-动量张量的协变推广是不可靠的。通过将配分函数构造为弯曲空间背景下传播的标量场完整模式集上的非相干平均，我们证明，对于静态球对称几何这一特例，由此产生的稳态能量-动量张量通常具有形式 $T_{\mu\nu}=(\rho+p)U_{\mu}U_{\nu}+pg_{\mu\nu}+\pi_{\mu\nu}$，其中各向异性项 $\pi_{\mu\nu}$ 是一个对称、无迹的秩二张量，满足 $U^{\mu}\pi_{\mu\nu}=0$。在不存在内在长度尺度的时空中，非相干平均的稳态流体不会出现这种 $\pi_{\mu\nu}$ 型项，因此在协变化平坦时空 $T_{\mu\nu}$ 时原则上会被遗漏。虽然此类 $\pi_{\mu\nu}$ 型项的重要性需要逐例评估，但通过使用动理学理论，我们令人放心地发现，对于通常使用完美流体源的弱引力恒星，这种 $\pi_{\mu\nu}$ 型项的影响很小。