多时间尺度方法的局限性

在多时间尺度方法（MMTS）中，引入独立时间尺度并消去快时间变量 T0 = t 中的长期项，会得到著名的 solvability conditions（可解性条件）。从一阶开始，在近似解展开式的每一阶中都出现自由项（未扰动方程的解）。在高于一阶的阶次中，这些自由项的振幅出现在可解性条件中。与通常看法相反，在 MMTS 分析中，这些自由项的作用超出满足初值条件：它们使不同阶次出现的可解性条件之间能够相互一致。一般而言，若自由项被任意选取（例如设为零，如许多应用中的常见做法），这种一致性可能无法保证。若一致性未保证，分析可能导致错误结果，或只容许平凡解。可解性条件构成关于展开式中出现的振幅对慢时间尺度依赖关系的偏微分方程组。然而，每当必须包含自由振幅以确保一致展开时，这些偏微分方程无法确定解对除第一个慢时间尺度 T1 = epsilon*t 之外更慢时间尺度的依赖关系。对更慢时间尺度 Tn = epsilon^n*t（n > 1）的依赖关系，必须通过例如在 T1 = 0 处的初值数据，或通过对近似解结构的要求（例如基于物理直觉、且与微扰格式有效性无关）来强加。这些论断通过若干简单例子说明，随后对一般情况加以讨论。