模一元多项式的二元多项式的字典序 Groebner 基
交换代数
2021-09-30 v3 符号计算
摘要
设 T(x) ∈ k[x] 为首项系数为 1 的非恒定多项式，并记 R=k[x]/(T) 为商环。考虑 R[y] 中的两个二元多项式 a(x, y), b(x, y)。在第一部分中，假设 T = p^e 为不可约多项式 p 的幂。引入了一个计算理想 (a, b, p^e) 的极小字典序 Groebner 基的新算法。第二部分通过由“动态求值”的推广所实现的“局部/全局”原理，将此算法推广到一般 T，该推广此前仅限于无平方因子多项式 T。该算法根据“可逆/幂零”的情形的区分产生分裂，扩展了经典动态求值中通常的“可逆/零”。该算法属于欧几里得族，其核心是模 T 的 a 与 b 的子结式序列。特别地，无需因式分解或 Groebner 基计算。理论背景依赖于 Lazard 关于两变量字典序 Groebner 基的结构定理。在 Magma 中进行了实现。基准测试清晰显示了该方法相较于 Groebner 基方法的益处，有时是显著的。
引用
@article{arxiv.2010.14775,
title = {Lexicographic Groebner bases of bivariate polynomials modulo a univariate one},
author = {Xavier Dahan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.14775},
year = {2021}
}
备注
Accepted at JSC. 50 pages, 6 tables, 8 figures