动物运动子流形估计的学习理论

本文描述一种用于动物运动子流形模型估计与逼近的新方法的公式化与实验测试。假设动物运动支撑于一个配置流形 $Q$ 上，该流形是欧氏空间 $X\approx \mathbb{R}^d$（对某 $d>0$）的光滑、连通、正则嵌入黎曼子流形，且流形 $Q$ 同胚于一个已知的光滑黎曼流形 $S$。流形估计通过寻找一个未知映射 $\gamma:S\rightarrow Q\subset X$（将流形 $S$ 映入 $Q$）来实现。整体问题被表述为测量流形 $\mathbb{Z}=S\times X$ 上的无分布学习问题。即，假设实验生成有限集 $\{(s_i,x_i)\}_{i=1}^m\subset \mathbb{Z}^m$ 的样本，这些样本根据 $\mathbb{Z}$ 上未知概率密度 $\mu$ 生成。本文推导基于 $m$ 个样本且包含于一个 $N(n)$ 维逼近子空间中的 $\gamma$ 的逼近 $\gamma_{n,m}$。本文定义充分条件，表明在 $L^2_\mu(S)$ 中的收敛速率对应于经典欧氏空间上无分布学习理论已知的那些。具体地，本文推导保证具有以下形式收敛速率的充分条件：$$\mathbb{E} \left (\|\gamma_\mu^j-\gamma_{n,m}^j\|_{L^2_\mu(S)}^2\right )\leq C_1 N(n)^{-r} + C_2 \frac{N(n)\log(N(n))}{m}$$其中常数 $C_1,C_2$，$\gamma_\mu:=\{\gamma^1_\mu,\ldots,\gamma^d_\mu\}$ 为回归函数 $\gamma_\mu:S\rightarrow Q\subset X$，$\gamma_{n,m}:=\{\gamma^1_{n,j},\ldots,\gamma^d_{n,m}\}$。