利用随机神经网络学习初值问题的精确时间积分算法

我们提出了一种利用极限学习机（ELM）型随机神经网络（NN）学习初值问题（IVP）精确时间积分算法的方法。非自治系统的精确时间积分算法可以用更高维度的算法函数来表示，该函数满足相应的偏微分方程组及相应的边界条件。我们的方法通过使用物理信息驱动的 ELM 求解该关联系统来学习算法函数。训练好的 ELM 网络可作为学习到的算法，用于从某定义域中任意初始数据或步长求解初值问题。当非自治系统的右端项关于其任意参数呈现周期性，而问题本身的解并非周期时，我们证明算法函数要么是周期的，要么当它不是周期时满足关于不同周期的明确定义的关系。这一性质可以在许多问题中极大简化算法学习。我们考虑了显式和隐式神经网络公式，分别导出显式或隐式时间积分算法，并讨论了如何通过非线性最小二乘法训练 ELM 网络。通过包括非刚性、刚性和混沌系统在内的基准问题的广泛数值实验，表明学习到的神经网络算法在长时间模拟中产生高度精确的解，其时间推进误差随神经网络自由度的增加几乎呈指数衰减。我们对当前神经网络算法与主流传统时间积分算法的计算性能（精度与代价）进行了广泛比较。学习到的神经网络算法在计算上具有竞争力，在许多问题上明显优于传统算法。