通过二次型学习等变函数

在本研究中，我们引入了一种通过从数据中学习对应于群的关联二次型 $x^T A x$ 来学习群（已知或未知）等变函数的方法。某些群被称为正交群，它们保持特定的二次型，我们利用这一性质在假设底层对称群为正交群的前提下揭示该对称群。通过利用对应的唯一对称矩阵及其固有的对角形式，我们将合适的归纳偏置融入神经网络架构中，从而得到简化且高效的模型。我们的方法产生了一个保持范数的不变模型，而等变模型表示为范数不变模型与尺度不变模型的乘积，其中“乘积”指群作用。此外，我们将框架扩展到更一般的设定，即函数通过对角（或乘积）群作用作用于输入向量元组。在此扩展中，等变函数被分解为仅从归一化的第一个向量提取的角度分量，以及依赖于该元组完整Gram矩阵的尺度不变分量。这种分解捕获了多个输入之间的相互依赖关系，同时保持了底层的群对称性。我们在多项式回归、顶夸克标记和惯性矩阵预测等多个任务中评估了该框架的有效性。与基线方法的对比分析表明，我们的模型在发现底层对称性和高效学习相应等变函数方面均始终表现出色。