基于数学形态学的深度卷积学习的格论与代数模型

我们为深度卷积架构（CNN、ResNet 以及诸如 UNet 的编码器-解码器网络）建立了一个严格的代数框架，该框架基于格论和数学形态学。核心工具是 Matheron-Maragos-Banon-Barrera (MMBB) 关于平移不变算子的通用表示理论，我们将其系统地应用于标准深度网络的每一层。主要发现是：标准 CNN 流水线（线性卷积 + ReLU + 平坦最大池化）是一个交叉格算子：卷积是傅里叶下半格中的腐蚀，ReLU 是格并闭包，最大池化是逐点最大-加格中的膨胀，而它们的复合既不是前者也不是后者的形态学开运算。第二个发现是，ReLU 在逐点格中的上伴随是一个全局（非局部）算子，它在全局非负函数上为恒等映射，否则为 $-\infty$，因此没有局部形态学腐蚀能与 ReLU 构成伴随对。这两个结果共同提供了精确的代数原因，解释了为什么标准 CNN 中的深度引入了真正的表示能力：复合层不是幂等的。我们识别并完整刻画了三种真正幂等开运算的层设计：纯最大-加形态学层（逐点格）、谱维纳层（傅里叶格）和自对偶形态学层。我们建立了一个完整的不动点与收敛理论。该框架还将最大池化、步长卷积和拉普拉斯金字塔统一在 Goutsias-Heijmans 伴随金字塔理论下，并给出了激活-池化膨胀 (APD) 分解及其正确的伴随。