稀疏多图的森林与带限制条件的森林划分

以下是一种对多图稀疏性的度量，细化了最大平均度:对于$a>0$和任意实数$b$，若多图$H$无环且对于每个$|A|\geq 2$的子集$V(H)$，诱导子图$H[A]$的边数不超过$a|A|+b$，则称$H$为$(a,b)$-稀疏。森林恰好是$(1,-1)$-稀疏的多图。已知，任何$(2,-1)$-稀疏多图的顶点集可以划分为两个部分，每个部分诱导的都是森林。对于给定参数$D$，我们研究对于哪些$(a,b)$配对，每个$(a,b)$-稀疏多图$G$都允许将顶点集$V(G)$划分为$(V_1, V_2)$，使得$G[V_1]$和$G[V_2]$都是森林，且此外要么(i) $\Delta(G[V_1])\leq D$，要么(ii) $G[V_1]$的每个连通分支最多有$D$条边。我们找到了两种类型问题(i)和(ii)的$a$和$b$的精确界限。我们还考虑了类型(i)问题在简单图中的情况，找到了所有$D\geq 2$的精确界限。