图的克龙约化及其在电网中的应用

考虑一个带自环的加权无向图，及其对应的拉普拉斯矩阵（可能附加了与自环对应的对角元素）。该图的克龙约化是一个新图，其拉普拉斯矩阵由原拉普拉斯矩阵关于某个节点子集的舒尔补得到。克龙约化过程在经典电路理论及相关学科中无处不在，例如电阻抗成像、智能电网监测、电力网络暂态稳定评估，以及感应电机和电力电子的分析与仿真。克龙约化的更广泛应用出现在稀疏矩阵算法、多重网格求解器、有限元分析和马尔可夫链中。拉普拉斯矩阵的舒尔补及相关概念在线性代数文献中也以不同名称作为纯理论问题被研究。在本文中，我们提出了一个通用的图论框架用于克龙约化，这为数学和物理两方面都带来了新颖而深刻的见解。我们展示了该框架在工程应用和计算中出现的各种实际问题设置中的适用性。此外，我们对克龙约化过程进行了全面而详细的图论分析，涵盖了拓扑、代数、谱、电阻和灵敏度分析。在整个理论阐述中，我们特别强调了结果的实际适用性。