稠密有向图随机扰动上的卡普修补算法

我们考虑以下问题。给定一个最小入度和出度均至少为 $\alpha n$ 的稠密有向图 $D_0$，其中 $\alpha>0$ 为常数。然后我们向 $D_0$ 中添加随机边 $R$ 以创建有向图 $D$。此处每条边 $e$ 以概率 $n^{-\epsilon}$ 独立地放入 $R$ 中，其中 $\epsilon>0$ 为小的正常数。边 $E(D)$ 的 $D$ 具有独立的边代价 $C=C(e),e\in E(D)$，其中当 $x\to 0$ 时 $C$ 具有密度 $f(x)=a+bx+o(x)$。此处 $a>0,b$ 为常数。主要例子将是均匀 $[0,1]$ 分布（$a=1,b=0$）和指数均值 1 分布 $EXP(1)$（$a=1,b=-1$）。令 $C(i,j),i,j\in[n]$ 为关联的 $n\times n$ 代价矩阵，其中若 $(i,j)\notin E(D)$ 则 $C(i,j)=\infty$。我们证明 w.h.p. 卡普的修补算法为非对称旅行商问题找到一条巡游路线，其代价渐近等于关联指派问题的代价。卡普算法在多项式时间内运行。