基于矩阵乘法的对称矩阵子集特征向量迭代精细化
数值分析
2026-03-02 v1 数值分析
摘要
我们发展了一种迭代精细化方法，用于提高用户选定的 k 个特征向量 (k << n) 的精度，该方法适用于 n 阶实对称矩阵。该方法利用以紧凑 WY 形式表示的正交矩阵，将特征向量误差通过一个可以从鲁罗维斯商和残差中高效近似的校正矩阵表达。与针对单个特征对或完整特征基的精细化方法不同，本文仅对选定的 k 个特征向量进行精细化，额外存储量为 O(nk)，其主要计算工作可组织为矩阵-矩阵乘法。在特征值分离条件下，精细化以线性收敛；我们也提供保守的充分条件。实际情况下，可通过平移等方式实现分离条件的变体，从而可针对谱的其他极端部分进行目标定位。对于紧密聚类的特征值，我们讨论了局限性，并在代表性稀疏示例中展示了预处理可恢复收敛性。数值实验在稠密测试矩阵和来自 SuiteSparse 矩阵集合的稀疏矩阵上表明，可实现的精度及问题依赖的收敛性。
引用
@article{arxiv.2602.23778,
title = {Iterative Refinement for a Subset of Eigenvectors of Symmetric Matrices via Matrix Multiplications},
author = {Takeshi Terao and Katsuhisa Ozaki and Toshiyuki Imamura and Takeshi Ogita},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.23778},
year = {2026}
}