激活函数积分特征：九维分类学与深度学习稳定性理论

激活函数支配神经网络的可表达性与稳定性，但现有比较方法仍大体上是经验性的。我们提出了一种严格的框架，用于通过九维积分特征 $S_\sigma(\phi)$ 对其进行分类，结合高斯传播统计量（$m_1, g_1, g_2, m_2, \eta$）、渐近斜率（$\alpha_+, \alpha_-$）以及正则性度量（$TV(\phi'), C(\phi)$）。该分类学建立了良定义性、带偏置的仿射重参数化律，以及有界斜率变动下的闭合性。动力学分析给出具有显式下降常数的 Lyapunov 定理，并通过 $(m_2', g_2)$ 识别方差稳定区域。从核视角出发，我们推导出维度无关的 Hessian 界限，并将光滑性关联到 $\phi'$ 的总变率。应用该框架，我们对八种标准激活函数（ReLU、leaky-ReLU、tanh、sigmoid、Swish、GELU、Mish、TeLU）进行分类，证明在饱和、线性增长与光滑家族之间具有尖锐区分。数值 Gauss-Hermite 和蒙特卡罗验证确认了理论预测。我们的框架提供了原则性的设计指导，使激活函数的选择从试错转向可证明的稳定性和核条件。