随机和的复零点密度

设 $\{\eta_{j}\}_{j = 0}^{N}$ 为独立同分布的随机复高斯变量序列,设 $\{f_{j} (z)\}_{j = 0}^{N}$ 为给定且在实数轴上取实值的解析函数序列。我们证明了随机方程 $\sum_{j = 0}^{N} \eta_{j} f_{j} (z) = \mathbf{K}$ (其中 $\mathbf{K} \in \mathds{C}$) 的复零点分布期望密度的一个精确公式。证明方法运用了高斯随机变量二次型期望绝对值的一个公式。随后我们得到当 $N$ 趋于无穷时密度函数的极限行为,并对某些函数 $f_{j} (z)$ 下的密度函数与经验分布给出数值计算。最后,我们研究了 $f_{j} (z)$ 为实数轴与单位圆上正交多项式的情形。