通过新的拉普拉斯近似界改进伯恩斯坦-冯·米塞斯定理的维数依赖性

伯恩斯坦-冯·米塞斯定理（BvM）给出了基于 $n$ 个独立样本的参数 $\theta\in\Theta\subseteq\mathbb R^d$ 的后验分布渐近正态的条件。在高维情形下，一个关键问题是确定 BvM 成立所需的 $d$ 随 $n$ 的增长速率。我们证明，除一个依赖于模型的常数外，$n\gg d^2$ 足以使 BvM 在以下两种设定中成立：任意广义线性模型（包含指数族作为特例）以及多项数据（其中感兴趣的参数是一个在 $d+1$ 个状态上的未知概率质量函数）。我们的结果改进了此前已知最紧的后验渐近正态条件 $n\gg d^3$。我们对 BvM 的表述是非渐近的，采取显式高概率界的形式。为证明 BvM，我们推导了 $\Theta\subseteq\mathbb R^d$ 上测度 $\pi\propto e^{-nf}$ 与其拉普拉斯近似之间总变差距离的一个新的简单显式界。