改进的预算连通支配与预算边-顶点支配

我们考虑经典连通支配集问题（BCDS）的预算（Budgeted）版本。给定图 $G$ 与预算 $k$，我们寻求至多 $k$ 个顶点的连通子集，以最大化 $G$ 中被支配的顶点数。我们通过引入一种在算法最后部分分析中进行树分解的新方法，改进了 [Khuller, Purohit, and Sarpatwar,\ \emph{SODA 2014}] 中先前的 $(1-1/e)/13$ 近似比。这一新途径提供了 $(1-1/e)/12$ 的近似保证。通过推广算法第一部分的的分析，我们得以适当修改并获得进一步改进至 $(1-e^{-7/8})/11$。另一方面，我们证明了对于任意 $\epsilon > 0$ 的 $(1-1/e+\epsilon)$ 不可近似性下界。我们还考察了边-顶点支配变体，其中一条边支配其端点及所有与之相邻的顶点。在预算边-顶点支配（BEVD）中，给定图 $G$ 与预算 $k$，我们寻求 $k$ 条边的（不必连通的）子集，使 $G$ 中被支配的顶点数最大化。我们证明存在 $(1-1/e)$-近似算法。此外，对于任意 $\epsilon > 0$，我们通过自最大覆盖问题的保隙归约给出 $(1-1/e+\epsilon)$-不可近似性结果。最后，我们考察“对偶”的部分边-顶点支配（PEVD）问题，其中给定图 $G$ 与配额 $n'$。目标是选取最小规模的边集以支配 $G$ 中至少 $n'$ 个顶点。此情形下，我们通过归约至部分覆盖问题给出 $H(n')$-近似算法。