流多项式系数的改进上界

设 $G$ 为一张连通且无桥的 $(n,m)$ 图，可含环与多边，记 $F(G,t)$ 为图 $G$ 的流多项式。董与 Koh 引用了 Dong1 建立了流多项式展开 $F(G,t)$ 中 $t^i$ 项系数 $c_i$ 的绝对值的上界，其中 $0\leqslant i \leqslant m-n+1$。本文细化了上述上界。具体而言，我们证明当 $n\leqslant m \leqslant n+3$ 时，$|c_i|\leqslant d_i$，其中 $d_i$ 为展开式 $\prod\limits_{j=1}^{m-n+1}(t+j)$ 中 $t^i$ 项的系数；当 $m\geqslant n+4$ 时，$|c_i|\leqslant d_i$，其中 $d_i$ 为展开式 $(t+1)(t+2)(t+3)^{2}(t+4)^{m-n-3}$ 中 $t^i$ 项的系数。进一步，我们证明若 $G$ 为一张仅有实流根的连通三角图，则 $b_i\leqslant |c_i|$，其中 $b_i$ 为展开式 $(t+1)(t+2)^{\frac{n}{2}}$ 中 $t^i$ 项的系数。值得注意的是，若 $G$ 为一张简单连通三角图且仅有实流根，则 $b_i$ 为展开式 $(t+1)(t+2)^{\frac{n}{2}-2}(t+3)^{2}$ 中 $t^i$ 项的系数。