Khatri-Rao 随机投影的改进分析及其应用

随机化已成为大规模矩阵和张量分解的一套强大工具。随机化算法涉及使用随机矩阵计算草图。一种流行的方法是将随机矩阵取为标准高斯随机矩阵，其理论已发展得相当完善。然而，这种方法的缺点在于，生成随机矩阵以及与之相乘的开销可能极其高昂。Khatri-Rao 随机投影（Khatri-Rao Random Projections, KRPs）通过使用随机矩阵的 Khatri-Rao 乘积进行草图绘制来获得，提供了一种可行的替代方案，且生成成本要低得多。然而，使用 KRPs 的理论保证在实践中观察到的精度面前显得过于悲观。我们试图通过获得对在矩阵和张量低秩分解中使用 KRPs 的改进分析来缩小这一差距。我们提出并分析了一种使用 KRPs 对块结构矩阵（例如块 Hankel 矩阵）进行低秩近似的新算法。我们还展示了如何使用 KRPs 加速 Tucker 格式的张量计算，并给出了所得低秩近似的理论保证。在合成和真实张量上的数值实验展示了所提方法的计算优势。