权重能被 k 整除的循环

赋权（有向）图是为其顶点和边分配整数权重的（有向）图。子图的权重为其顶点和边权重之和。确定权重完全图中不包含权重能被 k 整除的有向循环的最大阶数 $f(k)$ 的问题，由 Alon 和 Krivelevich 提出 [J. Graph Theory 98 (2021) 623-629]。他们表明 $f(k)$ 为 $O(k\log k)$，且若 k 为素数则 $f(k) \le 2k-2$。我们目前已知的最佳界限为 $f(k) \le 2k-2$（适用于所有 k）和 $f(k) < (3k-1)/2$（适用于素数 k）。也已知 $f(k) \ge k$，并认为这应为正确值。我们证明 $f(k) < k+2\Omega(k)$，其中 $\Omega(k)$ 为 k 在素因数分解中的个数（不区分是否唯一）。我们还表明，最小度为 $2k-1$ 的任意权重无向图包含一个权重能被 k 整除的循环。该结果在权重来自阶为 k 的有限阿贝尔群、且循环权重等于群单位的更一般设置下得到证明。我们推测这对最小度为 $k+1$ 的无向图也成立。