线性草图对自适应输入的鲁棒性如何？

线性草图是强大的算法工具，通过线性变换将 n 维输入转化为简洁的低维表示。此类草图已广泛应用于数据流范数估计、压缩感知和分布式计算等领域。然而，在几乎任何现实场景中，线性草图都面临其输入可能与草图先前评估结果相关的风险。已知技术无法保证在此类相关性存在时输出的正确性。因此我们提出：线性草图是否本质上对自适应选择的输入不具备鲁棒性？我们对此给出了肯定的强有力回答。具体而言，我们证明没有任何线性草图能在多项式数量的自适应选择输入上，以任意乘法近似因子近似其输入的欧几里得范数。即使草图维度为 d = n - o(n) 且草图拥有无界计算时间，该结果依然成立。我们的结果基于一种运行时间为 d 的多项式算法，该算法能自适应地找到一个输入分布，使得草图在该分布上以常数概率出错。我们的结果蕴含了若干关于相关问题的推论，包括 lp-范数估计和压缩感知。值得注意的是，我们解决了压缩感知中的一个开放问题，即在存在计算有界对手的情况下 l2/l2 恢复保证的可行性。